Vizsgáljuk egy termodinamikai rendszer képzeletben
elkülönített kis részének (részrendszerének)
fluktuációit. Egy fluktuáció, amely 
változást okoz a teljes rendszer entrópiájában, 
valószínűséggel fordul
elő.
Jelöljük "0" indexszel a "teljes rendszer mínusz
részrendszer = hőtartály"-hoz tartozó, index nélkül
pedig a részrendszerhez tartozó mennyiségeket. Ekkor 
ahol
az X mennyiség eltérése az egyensúlyi
értéktől. Mivel a teljes rendszer energiát kívülről nem kap, ezért 
. A
továbbiakban feltételezzük, hogy a teljes rendszer
térfogata sem változik a fluktuációk hatására,
tehát 
. A teljes
entrópiaváltozás így a következőképpen írható: 
Feltételezve, hogy a
fluktuáció kicsi, 
-t sorbafejtjük az
egyensúlyi állapot körül. Mivel 
és 
,
ezért 
tehát
ahol 
helyébe T-t írtunk, s megjegyezzük, hogy
a rendszer egyensúlyi hőmérséklete.
Amennyiben V és T fluktuációira vagyunk kíváncsiak,
(26)-ben 
-t és 
-t ki kell
fejeznünk 
-vel és 
-vel: 
(itt felhasználtuk a 
Maxwell-relációt) és
Behelyettesítve (26)-be:
tehát T és V fluktuációi függetlenek egymástól
és Gauss-eloszlást követnek. (27)-ből a
feladat megfogalmazásában szereplő összefüggések
érvényessége azonnal látható.